$\pi$ 的计算

指数和对数无穷级数展开

指数展开

\begin{aligned} 从 一 个 基 本 等 式 开 始 : & a^{0} = 1 \\ 那 么 ϵ \to o, ϵ^{'} \to o 时 : & a^{ϵ} = 1 + ϵ^{'} \\ 设 ϵ 和 ϵ^{'} 有 关 系 : & ϵ^{'} = K ϵ, 代 入 上 式 得 : a^{ϵ} = 1 + K ϵ \\ 于 是 : & a^{n ϵ} = (1 + K ϵ)^{n} \\ 对 于 n \to \infty, ϵ \to o, 说 明 n ϵ 是 一 个 任 意 值 ， 设 为 x ， 即 : & n ϵ = x \\ 也 就 是 : & a^{x} = (1 + K ϵ)^{n} \\ 对 (1 + K ϵ)^{n} 展 开 为 多 项 式 : & (1 + K ϵ)^{n} = 1 + (\binom{n}{1}) K ϵ + (\binom{n}{2}) (K ϵ)^{2} + (\binom{n}{3}) (K ϵ)^{3} + (\binom{n}{4}) (K ϵ)^{4} + \dots \\ 由 前 面 设 n ϵ = x, 得 ϵ = \frac{x}{n} 代 入 上 式 : & (1 + K ϵ)^{n} = 1 + (\binom{n}{1}) K \frac{x}{n} + (\binom{n}{2}) (K \frac{x}{n})^{2} + (\binom{n}{3}) (K \frac{x}{n})^{3} + (\binom{n}{4}) (K \frac{x}{n})^{4} + \dots \\ 当 n \to \infty 时 : & (\binom{n}{1}) \frac{1}{n} = \frac{n}{1} \frac{1}{n} = 1, (\binom{n}{2}) \frac{1}{n^{2}} = \frac{n (n - 1)}{1 * 2} \frac{1}{n^{2}} = \frac{n - 1}{1 * 2} \frac{1}{n} = \frac{1 - \frac{1}{n}}{1 * 2} = \frac{1}{2!} \\ (\binom{n}{3}) \frac{1}{n^{3}} = \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1 * 2 * 3} \frac{1}{n^{3}} = \frac{(n - 1) (n - 2)}{1 * 2 * 3} \frac{1}{n^{2}} = \frac{(1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n})}{1 * 2 * 3} = \frac{1}{3!} \\ 因 此 ， 第 n 项 （ 从 0 开 始 ） 系 数 为 \frac{1}{n!}, 则 原 式 变 为 : & a^{x} = (1 + K ϵ)^{n} = 1 + K x + \frac{1}{2!} K x^{2} + \frac{1}{3!} K x^{3} + \frac{1}{4!} K x^{4} + \dots \\ 即 : & a^{x} = 1 + K x + \frac{1}{2!} K x^{2} + \frac{1}{3!} K x^{3} + \frac{1}{4!} K x^{4} + \dots \\ 若 设 x = 1, K = 1, 则 : & a = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots = e = 2.718 \dots \end{aligned}

对数展开

\begin{aligned} 对 于 \ln (1 + x), 按 之 前 的 思 想, 有 : & \ln (1 + x) = \ln (1 + ϵ)^{n}, 其 中, ϵ \to o, n \to \infty \\ 对 比 上 面 的 指 数 展 开, (1 + ϵ)^{n} 相 当 于 K = 1 的 情 形, 此 时 a = e, 即 : & \ln (1 + x) = \ln (1 + ϵ)^{n} = \ln e^{n ϵ} = n ϵ \\ 即 : & \ln (1 + x) = n ϵ & (1) \\ 而 由 \ln (1 + x) = \ln (1 + ϵ)^{n} 得 : & 1 + x = (1 + ϵ)^{n}, 解 : ϵ = (1 + x)^{\frac{1}{n}} - 1 代 入 (1) 得 : \\ \ln (1 + x) = n [(1 + x)^{\frac{1}{n}} - 1] = n (1 + x)^{\frac{1}{n}} - n & (2) \\ 其 中 (1 + x)^{\frac{1}{n}} & = 1 + (\binom{\frac{1}{n}}{1}) x + (\binom{\frac{1}{n}}{2}) x^{2} + (\binom{\frac{1}{n}}{3}) x^{3} + \dots \\ = 1 + \frac{\frac{1}{n}}{1} x + \frac{\frac{1}{n} (\frac{1}{n} - 1)}{1 * 2} x^{2} + \frac{\frac{1}{n} (\frac{1}{n} - 1) (\frac{1}{n} - 2)}{1 * 2 * 3} x^{3} + \dots \\ 则 n (1 + x)^{\frac{1}{n}} & = n + x + \frac{(\frac{1}{n} - 1)}{1 * 2} x^{2} + \frac{(\frac{1}{n} - 1) (\frac{1}{n} - 2)}{1 * 2 * 3} x^{3} + \dots \\ 则 n (1 + x)^{\frac{1}{n}} - n & = x + \frac{(\frac{1}{n} - 1)}{1 * 2} x^{2} + \frac{(\frac{1}{n} - 1) (\frac{1}{n} - 2)}{1 * 2 * 3} x^{3} + \dots & (3) \\ n \to \infty 时, (3) 为 : & x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{4} + \dots \\ 即 (2) 可 表 示 为 : & \ln (1 + x) = x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{4} + \dots \\ 用 - x 代 替 得 : & \ln (1 - x) = - x - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{4} - \dots \\ 得 到 进 一 步 结 论 : & \ln \frac{1 + x}{1 - x} = \ln (1 + x) - \ln (1 - x) = 2 (x + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{7} x^{7} + \dots) & (4)) \end{aligned}

$\pi$

$\pi$ ，因此需要对 x 进行无穷级数展开，已知欧拉公式：

\begin{array}{r} e^{i x} = \cos x + i \sin x \end{array}

使用这个公式解出 x，其推算如下：

\begin{aligned} 首 先, 根 据 欧 拉 公 式 有 : & e^{i x} = \cos x + i \sin x 和 e^{- i x} = \cos x - i \sin x \\ 两 式 先 左 右 取 \ln 再 相 减 得 : & \ln e^{i x} = l n (\cos x + i \sin x) \ln e^{- i x} = l n (\cos x - i \sin x) \\ i x = l n (\cos x + i \sin x) - i x = l n (\cos x - i \sin x) \\ 2 i x = l n (\cos x + i \sin x) - l n (\cos x - i \sin x) \\ 解 x : & x = \frac{1}{2 i} (\ln \frac{\cos x + i \sin x}{\cos x - i \sin x}) \\ = \frac{1}{2 i} (\ln \frac{1 + i \tan x}{1 - i \tan x}) & (5) \\ 由 前 述 (4) 结 论, 所 以 (5) 式 为 : & (5) = \frac{1}{2 i} * 2 (i \tan x - \frac{1}{3} i \tan^{3} x + \frac{1}{5} i \tan^{5} x - \frac{1}{7} i \tan^{7} x + \dots) \\ = \tan x - \frac{1}{3} \tan^{3} x + \frac{1}{5} \tan^{5} x - \frac{1}{7} \tan^{7} x + \dots \\ 即 : & x = \tan x - \frac{1}{3} \tan^{3} x + \frac{1}{5} \tan^{5} x - \frac{1}{7} \tan^{7} x + \dots \\ 转 为 反 三 角 函 数 表 示 : & \arctan x = x - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{7} x^{7} + \dots \\ 已 知 \tan \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}, 即 : & \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3})^{3} + \frac{1}{5} (\frac{\sqrt{3}}{3})^{5} - \frac{1}{7} (\frac{\sqrt{3}}{3})^{7} + \dots \\ 也 就 是 : & π = 6 (\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3})^{3} + \frac{1}{5} (\frac{\sqrt{3}}{3})^{5} - \frac{1}{7} (\frac{\sqrt{3}}{3})^{7} + \dots) \\ = 6 (\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{\sqrt{3}}{3^{2}} + \frac{1}{5} \frac{\sqrt{3}}{3^{3}} - \frac{1}{7} \frac{\sqrt{3}}{3^{4}} + \dots) \\ = 6 \sqrt{3} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3 * 3^{2}} + \frac{1}{5 * 3^{3}} - \frac{1}{7 * 3^{4}} + \dots) \end{aligned}

$\pi$ 就是利用这个公式计算的，欧拉真是天才！

π\pi 的计算

指数和对数无穷级数展开

指数展开

对数展开

计算 π\pi

$\pi$ 的计算

$\pi$