余弦定理证明

余弦定理

$\gamma$ ，则有如下关系：

\begin{array}{r} c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ \end{array}

\begin{array}{r} \sin x = x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} + \dots \end{array}

推导如下：

\begin{aligned} 设 展 开 式 为 : & \sin x = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots & (1) \\ 设 x = 0 ， 可 求 得 a_{0} : & \sin x |_{x = 0} = a_{0} = 0 \\ 对 (1) 求 导 ， 得 : & (\sin x)^{'} = \cos x = a_{1} + 2 a_{2} x + 3 a_{3} x^{2} + \dots & (2) \\ 同 样 设 x = 0 ， 则 : & a_{1} = \cos x |_{x = 0} = 1 \\ 继 续 对 (2) 求 导 得 : & (\cos x)^{'} = - \sin x = 2 a_{2} + 3 * 2 * a_{3} x + \dots & (3) \\ 设 (3) 中 x = 0 ， 得 : & - \sin x |_{x = 0} = 2 a_{2} = 0, a_{2} = 0 \\ 继 续 对 (3) 求 导 得 : & (- \sin x)^{'} = - \cos x = 3 * 2 * 1 * a_{3} + 4 * 3 * 2 * a_{4} * x + 5 * 4 * 3 * x^{2} + \dots & (4) \\ 设 (4) 中 x = 0 ， 得 : & - \cos x |_{x = 0} = 3! a_{3} = - 1, a_{3} = - \frac{1}{3!} \\ 如 此 循 环 ， 不 停 求 导 和 设 x = 0 ， 得 a_{4} = 0, a_{5} = \frac{1}{5!}, a_{6} = 0, a_{7} = - \frac{1}{7!} \dots \\ 于 是 : & \sin x = x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} + \dots \end{aligned}

$\sin x$ $\cos x$ 的无求级数展开为：

\begin{array}{r} \cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} - \frac{1}{6!} x^{6} + \dots \end{array}

$\sin x$ $e^x$ 展开为：

\begin{array}{r} e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} + \frac{1}{5!} x^{5} + \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{7!} x^{7} + \dots \end{array}

\begin{aligned} 由 : & e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} + \frac{1}{5!} x^{5} + \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{7!} x^{7} + \dots \\ 用 i x 替 换 x, 得 : \\ e^{i x} = 1 + i x - \frac{1}{2!} x^{2} - \frac{1}{3!} i x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} - \frac{1}{5!} i x^{5} - \frac{1}{6!} x^{6} - \frac{1}{7!} i x^{7} + \dots \\ 即 : \\ e^{i x} = (1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} - \frac{1}{6!} x^{6} + \dots) + i (x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} + \dots) \\ 无 穷 级 数 展 开 式 替 换 回 \sin x 和 \cos x 得 欧 拉 公 式 : & e^{i x} = \cos x + i \sin x \end{aligned}

\begin{aligned} 用 x + y 替 换 欧 拉 公 式 中 的 x : & e^{i (x + y)} = \cos (x + y) + i \sin (x + y) \\ 而 : & e^{i (x + y)} = e^{i x} * e^{i y} = (\cos x + i \sin x) * (\cos y + i \sin y) = (\cos x \cos y - \sin x \sin y) + i (\sin x \cos y + \sin y \cos x) \\ 以 上 两 式 相 等 ， 于 是 有 : & \cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y 和 \sin (x + y) = \sin x \cos y + \sin y \cos x \end{aligned}

假设三角形为：

\begin{aligned} 如 图 ， 作 C D ⊥ A B 于 D ， ∠ B C D = α, ∠ D C A = β \\ 且 由 题 意 设 : & γ = α + β \\ 则 : & c = A B = B D + A D = a \sin α + b \sin β \\ 两 边 平 方 得 : & c^{2} = a^{2} \sin^{2} α + 2 a b \sin α \sin β + b^{2} \sin^{2} β \\ = a^{2} (1 - \cos^{2} α) + 2 a b \sin α \sin β + b^{2} (1 - \cos^{2} β) \\ = a^{2} + b^{2} - (a^{2} \cos^{2} α + b^{2} \cos^{2} β) + 2 a b \sin α \sin β & (5) \\ 而 △ C B D 和 △ C D A 中 : & C D = a \cos α = b \cos β \\ 于 是 有 : & a^{2} \cos^{2} α + b^{2} \cos^{2} β = 2 C D^{2} & (6) \\ 又 有 前 面 的 欧 拉 公 式 推 理 知 : & \sin α \sin β = \cos α \cos β - \cos (α + β) \\ 两 边 乘 以 2 a b 且 γ = α + β : & 2 a b \sin α \sin β = 2 a b \cos α \cos β - 2 a b \cos (α + β) = 2 C D^{2} - 2 a b \cos γ & (7) \\ (6) (7) 代 入 (5) 得 : & c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 C D^{2} + 2 C D^{2} - 2 a b \cos γ = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ \\ 即 : & c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ \end{aligned}