偶函数在x=0处的导数

工作太忙，好久没做数学题，《数学女孩 2》也好久不看了，好久没找到那种感觉了，还是要静下心来学习和看书才行。今天做做题，练练手。结果第一题，一道很容易的题目，难住了，其实自己已经推理出来，但没反应过来。题目是这样的：

\begin{array}{r} 若 f (x) 是 偶 函 数, 若 f^{'} (0) 存 在, 则 f^{'} (0) = ? \end{array}

$f(x) = x^2$ $f'(0)=0$ 的结论。

那么正规解答怎么写呢？能很快想到直接用定义去推导：

\begin{aligned} 因 为 f^{'} (0) 存 在, 则 左 右 极 限 相 等 ， 因 此 : & lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} & (1) \\ 又 因 为 f (x) 是 偶 函 数 ， 则 : & f (- x) = f (x) \\ 那 么, x > 0 时 ， 函 数 的 左 极 限 相 当 于 : & lim_{- x \to 0^{-}} \frac{f (- x) - f (0)}{- x - 0} = lim_{- x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{- x - 0} & (2) \\ 由 于 左 右 极 限 是 相 等 的 ， 也 就 是 (1) 与 (2) 相 等 : & lim_{- x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{- x - 0} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} & (3) \\ 即 左 右 极 限 相 等 ， 且 还 互 为 相 反 数 ， 那 么 只 能 是 f^{'} (0) = 0 才 能 满 足 (3) 这 个 等 式 \end{aligned}